❦ 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프

❧ 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프

▶ \(y=a(x-p)^2+q\)의 꼴로 고쳐서 그릴 수 있다.

▶ 점 \((0,~c)\)를 지난다.

▶ \(a>0\)이면 아래로 볼록하고, \(a<0\)이면 위로 볼록하다.

 

\(y=ax^2+bx+c~(a\neq0)\)	\(y=2x^2-4x+5\)
\(y=a\left(x^2+ \dfrac {b}{ a}x\right)+c\)	\(y=2(x^2-2x)+5\)
\(y=a\left\lbrace x^2+ \dfrac {b}{ a}x+\left(\dfrac {b}{ 2a}\right)^2-\left(\dfrac {b}{ 2a}\right)^2\right\rbrace+c\)	\(y=2(x^2-2x+1-1)+5\)
\(y=a\left(x+\dfrac {b}{ 2a}\right)^2-\dfrac {b^2}{ 4a}+c\)	\(y=2(x-1)^2-2+5\)
\(y=a\left( x+\dfrac {b}{ 2a}\right)^2-\dfrac {b^2-4ac}{ 4a}\)	\(y=2(x-1)^2+3\)
꼭짓점 : \(\left(-\dfrac{b}{ 2a},~-\dfrac {b^2-4ac}{ 4a}\right)\)	꼭짓점 : \((1,~3)\)

 

\(y=\)\(x^2+\)\(x+\)      

 

❧ 그래프가 나타내는 이차함수의 식 구하기

▶ 꼭짓점의 좌표와 다른 한 점의 좌표가 주어진 경우

1. 꼭짓점의 좌표를 이용하여 \(y=a(x-p)^2+q\)라 식을 세운다.

2. 지나는 점의 좌표를 대입하여 \(a\)의 값을 구한다.

예) 꼭짓점의 좌표가 \((-1,~8)\)이고, 점 \((-2,~6)\)을 지나는 경우

⇒ 구하는 식을 \(y=a(x+1)^2+8\)이라 놓고, 점 \((-2,~6)\)의 좌표를 대입

 

▶ 축과 서로 다른 두 점의 좌표가 주어진 경우

1. 축을 이용하여 \(y=a(x-p)^2+q\)라 식을 세운다.

2. 두 점의 좌표를 각각 대입하여 연립방정식을 푼다.

예) 축 \(x=-1\)과 두 점 \((-2,~6),~(1,~0)\)을 지나는 경우

⇒ 구하는 식을 \(y=a(x+1)^2+q\)라 놓고, 두 점 \((-2,~6),~(1,~0)\)의 좌표를 각각 대입

 

▶ 서로 다른 세 점의 좌표가 주어진 경우

1. \(y=ax^2+bx+c\)라 식을 세운다.

2. 세 점의 좌표를 각각 대입하여 연립방정식을 푼다.

예) 세 점 \((-3,~0),~(0,~6),~(2,-10)\)을 지나는 경우

⇒ 구하는 식을 \(y=ax^2+bx+c\)라 놓고, 세 점 \((-3,~0),~(0,~6),~(2,-10)\)의 좌표를 각각 대입

 

❦ 이차함수의 최댓값과 최솟값

❧ 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 최댓값과 최솟값

▶ 이차함수 \(y=ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q\)는

\(a>0\)일 때, \(x=p\)에서 최솟값은 \(q\)이고, 최댓값은 없다.

\(a<0\)일 때, \(x=p\)에서 최댓값은 \(q\)이고, 최솟값은 없다.

 

❧ 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)에서 \(a,~b,~c\)의 부호

▶ \(a\)의 부호 결정하기

· 그래프가 아래로 볼록 ⇒ \(a>0\)

· 그래프가 위로 볼록 ⇒ \(a<0\)

▶ \(b\)의 부호 결정하기

· 축이 \(y\)축의 왼쪽에 있으면 \(a,~b\)는 같은 부호

· 축이 \(y\)축의 오른쪽에 있으면 \(a,~b\)는 다른 부호

▶ \(c\)의 부호 결정하기

· \(y\)축과의 교점이 \(x\)축의 위쪽에 있으면 \(c>0\)

· \(y\)축과의 교점이 \(x\)축의 아래쪽에 있으면 \(c<0\)