❦ 이차방정식의 뜻과 그 해

❧ 이차방정식 : 방정식의 모든 항을 좌변으로 옮겨서 정리한 식이\[(x에~대한~이차식)=0\]의 꼴로 되는 방정식을 \(x\)에 대한 이차방정식이라고 한다.

일반적으로 \(x\)에 대한 이차방정식은\[ax^2+bx+c=0\quad(a,\thinspace b,\thinspace c는~상수,\thinspace a\neq0)\]의 꼴로 나타낼 수 있다.

예) \(x^2 +2x+1=0,\quad 4x^2-1=0\)

 

❧ 이차방정식의 해 : 주어진 이차방정식을 참이 되게 하는 \(x\)의 값을 그 이차방정식의 해 또는 근이라고 한다. 또, 이차방정식의 해를 구하는 것을 이차방정식을 푼다고 한다.

예) \(x=1,\quad x=2\)는 이차방정식 \(x^2-3x+2=0\)의 해이다.

 

❦ 이차방정식의 풀이

❧ 인수분해를 이용한 풀이

▶ \(AB=0\)이면 \(A=0\) 또는 \(B=0\) 을 이용한 풀이

\(\begin {align*}x^2-3x+2=0 \quad &~\Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \\\quad &~\Rightarrow x-1=0 ~또는~ x-2=0\\\quad &~\Rightarrow x=1 ~또는~ x=2\end {align*}\)

▶ \(A^2=0\)이면 \(A=0\) 을 이용한 풀이[중근을 갖는 경우]

\(\begin {align*}x^2-4x+4=0 \quad &\Rightarrow (x-2)^2=0 \\&\Rightarrow x-2=0\\&\Rightarrow x=2\end {align*}\)

 

❧ 제곱근을 이용한 풀이

일반적으로 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)은 \((x-p)^2=q(q\ge0)\)의 꼴로 고친 다음 제곱근을 풀 수 있다.

\(\begin {aligned}x^2+4x+1&=0\\x^2+4x&=-1\\x^2+4x+4&=-1+4\\(x+2)^2&=3\\x+2&=\pm\sqrt3\\x&=-2\pm\sqrt 3\end {aligned}\)

 

\(\begin {aligned}2x^2-4x-3&=0\\x^2-2x-\dfrac 3{ 2}&=0\\x^2-2x&=\dfrac 3{ 2}\\x^2-2x+1&=\dfrac 3{ 2}+1\\(x-1)^2&=\dfrac 5{ 2}\\x&=1\pm\sqrt {\dfrac 5{ 2}}=1\pm\dfrac{\sqrt{ 10}}2\end {aligned}\)

 

 

❧ 근의 공식을 이용한 풀이

\(ax^2+bx+c=0~(a\neq0)\)의 풀이	\(2x^2+3x-7=0\)의 풀이
\(x^2+ \dfrac {b}{ a}x+\dfrac {c}{ a}=0\)	\(x^2+ \dfrac 3{ 2}x-\dfrac 7{ 2}=0\)
\(x^2+\dfrac {b}{ a}x=-\dfrac {c}{ a}\)	\(x^2+ \dfrac 3{ 2}x=\dfrac 7{ 2}\)
\(x^2+\dfrac {b}{ a}x+\left(\dfrac {b}{ 2a}\right)^2=-\dfrac {c}{ a}+\left(\dfrac {b}{ 2a}\right)^2\)	\(x^2+\dfrac 3{ 2}x+\left(\dfrac 3{ 4}\right)^2=\dfrac 7{ 2}+\left(\dfrac 3{ 4}\right)^2\)
\(\left( x+\dfrac {b}{ 2a}\right)^2=\dfrac {b^2-4ac}{ 4a^2}\)	\(\left(x+\dfrac 3{ 4}\right)^2=\dfrac { 65}{ 16}\)
\(x+\dfrac {b}{ 2a}=\pm\dfrac { \sqrt { b^2-4ac}}{ 2a}\quad(b^2-4ac\geq0)\)	\(x+\dfrac 3{ 4}=\pm\sqrt { \dfrac { 65}{ 16}}\)
\(x=\dfrac { -b\pm\sqrt { b^2-4ac}}{ 2a}\)	\(\begin {aligned}x&=-\dfrac 3{ 4}\pm\sqrt { \dfrac { 65}{ 16}}\\&=\dfrac { -3\pm\sqrt { 65}}{ 4}\end {aligned}\)

 

▶ 근의 공식

이차방정식 \(ax^2+bx+c=0~(a\neq0)\)의 근은 \[x=\dfrac { -b\pm\sqrt { b^2-4ac}}{ 2a}~(단,~b^2-4ac\geq0)\]

 

❦ 이차방정식의 활용

❧ 이차방정식을 활용하여 문제를 해결하는 순서

1. 문제의 뜻을 이해하고, 무엇을 미지수 \(x\)로 놓을지 결정한다.

2. 문제의 뜻에 맞게 이차방정식을 세운다.

3. 이차방정식을 푼다.

4. 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

예) 자연수 \(x\)의 제곱과 \(x\)보다 \(3\)만큼 큰 수를 더했더니 \(15\)가 되었다. \(x\)를 구하여라. ☜

\(\Rightarrow ~ x^2+(x+3)^2=15\)