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도형의 닮음

❦ 도형의 닮음

도형의 닮음 : 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 도형이 다른 한 도형과 합동일 때, 그 두 도형은 서로 닮음인 관계에 있다고 하거나 서로 닮은 도형이라고 한다.

ABCDEF가 서로 닮았을 때 기호로

ABC

와 같이 나타낸다.

이때 두 도형의 꼭짓점은 보통 대응하는 순서대로 쓴다.

두 닮은 도형에서 대응하는 변의 길이의 비를 그 두 도형의 닮음비라고 한다.

♠ How to...

  • \rm O의 위치를 바꿔 닮은 두 삼각형을 살핀다.
  • 슬라이드 d를 이용하여 비율을 조절한다.
  • \rm A,~B,~C의 위치를 조절하여 삼각형의 모양을 바꾼다.

평면도형에서 닮음의 성질

    두 닮은 평면도형에서

    1. 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.

    2. 대응하는 각의 크기는 서로 같다.

입체도형에서 닮음의 성질

    두 닮은 입체도형에서

    1. 대응하는 모서리의 길이의 비는 일정하다.

    2. 대응하는 면은 서로 닮은 도형이다.

 

❦ 삼각형의 닮음조건

삼각형의 닮음조건

두 삼각형은 다음의 각 경우에 서로 닮은 도형이다.

대응하는 세 쌍의 변의 길이의 비가 각각 같을 때(SSS 닮음)

    a\,:\,a'=b\,:\,b'=c\,:\,c'

대응하는 두 쌍의 변의 길이의 비가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같을 때(SAS닮음)

    a\,:\,a'=c\,:\,c',~\rm\angle B=\angle B'

대응하는 두 쌍의 각의 크기가 각각 같을 때(AA닮음)

    \rm\angle B=\angle B',~\angle C=\angle C'

 

직각삼각형에서의 닮음

다음과 같이 \rm\angle A=90^\circ인 직각삼각형 \rm ABC의 꼭짓점 \rm A에 내린 수선의 발을 \rm H라고 할 때, 다음이 성립한다.

\rm\triangle ABC\,\backsim\,\triangle HBA

\rm\triangle ABC\,\backsim\,\triangle HAC

\rm\triangle HBA\,\backsim\,\triangle HAC

 

❦ 삼각형과 평행선

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비(1)

\rm\triangle ABC에서 한 직선이 \rm\overline {AB}, \rm\overline {AC} 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 \rm D, \rm E라고 할 때

1. \rm\overline {BC}\mathrel {/\!/}\rm\overline {DE}이면 \rm \overline {AB}\,:\,\overline {AD}=\overline {AC}\,:\,\overline {AE}=\overline {BC}\,:\,\overline {DE}

2. \rm \overline {AB}\,:\,\overline {AD}=\overline {AC}\,:\,\overline {AE}=\overline {BC}\,:\,\overline {DE}이면 \rm\overline {BC}\mathrel {/\!/}\rm\overline {DE}

♠ How to...

  • \rm D를 끌어 삼각형의 모양에 따른 닮음을 찾도록 한다.

 

\rm\triangle ABC에서 한 직선이 \rm\overline {AB}, \rm\overline {AC} 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 \rm D, \rm E라고 할 때

1. \rm\overline {BC}\mathrel {/\!/}\rm\overline {DE}이면 \rm \overline {AD}\,:\,\overline {DB}=\overline {AE}\,:\,\overline {EC}

2. \rm \overline {AD}\,:\,\overline {DB}=\overline {AE}\,:\,\overline {EC}이면 \rm\overline {BC}\mathrel {/\!/}\rm\overline {DE}

 


☞ 한 걸음 더

삼각형에서 각의 이등분선과 선분의 길이의 비

  • \rm\triangle ABC에서 \rm \angle A의 내각의 이등분선과 \rm\overline {BC}의 연장선의 교점을 \rm D라 할 때,\rm \overline {AB}\,:\,\overline {AC}=\overline {BD}\,:\,\overline {CD}

 

  • \rm\triangle ABC에서 \rm \angle A의 외각의 이등분선과 \rm\overline {BC}의 연장선의 교점을 \rm D라 할 때,\rm \overline {AB}\,:\,\overline {AC}=\overline {BD}\,:\,\overline {CD}

 

사각형의 네 변의 중점을 연결한 사각형

  • 사각형의 네 변의 중점을 연결한 사각형 ⇒ 평행사변형

  • 평행사변형의 네 변의 중점을 연결한 사각형 ⇒ 평행사변형

  • 직사각형의 네 변의 중점을 연결한 사각형 ⇒ 마름모

  • 마름모의 네 변의 중점을 연결한 사각형 ⇒ 직사각형

  • 정사각형의 네 변의 중점을 연결한 사각형 ⇒ 정사각형

  • 등변사다리꼴의 네 변의 중점을 연결한 사각형⇒ 마름모

  • 연꼴의 네 변의 중점을 연결한 사각형⇒ 직사각형

 

 

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Saturday, July 18, 2015