❦ 이등변삼각형의 성질
❧ 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형
▶ 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
▶ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
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\(\rm\overline {AD}\)가 \(\angle \rm A\)의 이등분선이라고 하면 \(\triangle\rm ABD\equiv \triangle ACD\)이므로 \(\angle\rm B=\angle C\)이다. 또한, \(\rm \overline {BD}=\overline {CD}\) \(\angle\rm ADB=\angle ADC\) \(\rm \angle ADB+\angle ADC=180^\circ\)이므로 \(\rm \angle ADB=\angle ADC=90^\circ\) 따라서 \(\rm \overline {AD}=\overline {BC}\)이다. |
▶ 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.
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\(\rm \angle A\)의 이등분선이 \(\rm \overline {BC}\)와 만나는 점을 \(\rm D\)라고 하면 \(\angle\rm B=\angle C\) \(\angle \rm BAD=\angle CAD\) \(\angle \rm ADB=\angle ADC\) \(\rm \overline {AD}\)는 공통인 변이므로 \(\rm \triangle ABD\equiv\triangle ACD\)이다. 따라서 \(\rm \overline {AB}=\overline {AC}\)이므로 \(\rm \triangle ABC\)는 이등변삼각형이다. |
❦ 직각삼각형의 합동조건
❧ 두 직각삼각형은 다음의 각 경우에 서로 합동이다.
▶ 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같을 때
▶ 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때
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\(\rm \angle A=\angle D\) \(\rm \angle C=\angle F=90^\circ\)이므로 \(\rm \angle B=\angle E\) \(\rm\overline {AB}=\overline {DE}\) 따라서 \(\rm \triangle ABC\equiv\triangle DEF\)이다. |
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\(\rm \angle ACB+\angle DFE=180^\circ\)이므로 세 점 \(\rm B,~C,~E\)는 한 직선 위에 있다. 이때 \(\rm \overline {AB}=\overline {DE}\) 이므로 \(\rm \triangle ABE\)는 이등변삼각형이고 \(\rm\angle B=\angle E\) 이다. 따라서 \(\rm \triangle ABC\equiv\triangle DEF\)이다. |
❦ 삼각형의 내심
❧ 어떤 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 직선이 원에 접한다고 하며 그 직선을 원의 접선, 만나는 점을 접점이라고 한다.
❧ 원 \(\rm I\)가 \(\triangle \rm ABC\)의 세 변에 모두 접해 있을 때, 원 \(\rm I\)는 \(\triangle \rm ABC\)에 내접한다고 하며 이 원을 \(\triangle \rm ABC\)의 내접원이라고 한다. 또, 내접원의 중심 \(\rm I\)를 \(\triangle \rm ABC\)의 내심이라고 한다.
▶ 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점(내심)에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 같다.
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\(\triangle\rm ABC\)에서 \(\angle\rm A\)와 \(\angle\rm B\)의 이등분선의 교점을 \(\rm I\)라 하고, 점 \(\rm I\)에서 \(\rm \overline {AB}\), \(\rm \overline {BC}\), \(\rm \overline {CA}\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm D\), \(\rm E\), \(\rm F\)라고 하면 \(\rm \triangle IBD\equiv\triangle IBE\)에서 \(\rm \overline {ID}=\overline {IE}\) \(\rm \triangle IAD\equiv\triangle IAF\)에서 \(\rm \overline {ID}=\overline {IF}\) 따라서 \(\rm \overline {IE}=\overline {IF}\)이므로 \(\triangle \rm ICE\equiv\triangle ICF\) 그러므로 \(\rm\angle ICE=\angle ICF\) |
❦ 삼각형의 외심
❧ \(\rm \triangle ABC\)의 모든 꼭짓점이 원 \(\rm O\) 위에 있을 때, 이 원 \(\rm O\)는 \(\rm \triangle ABC\)에 외접한다고 하며 이 원을 \(\rm \triangle ABC\)의 외접원이라고 한다. 또, 외접원의 중심 \(\rm O\)를 \(\rm \triangle ABC\)의 외심이라고 한다.
▶ 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점(외심)에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
▶ 삼각형의 모양에 따라 외심의 위치는 다르다.
- 예각삼각형 : 삼각형의 내부
- 직각삼각형 : 빗변의 중점
- 둔각삼각형 : 삼각형의 외부
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\(\triangle \rm ABC\)에서 \(\rm \overline {AB}\)의 수직이등분선과 \(\rm \overline {AC}\)의 수직이등분선의 교점을 \(\rm O\)라고 하자. \(\rm \overline {OA}=\overline {OB}, \overline {OA}=\overline {OC}\) 점 \(\rm O\)에서 \(\rm\overline {BC}\)에 내린 수선의 발을 \(\rm E\)라 하면 \(\rm \triangle OBE\equiv\triangle OCE\)이므로 \(\rm \overline {BE}=\overline {CE}\)이다. 따라서 \(\rm\overline {OE}\)는 \(\rm\overline {BC}\)의 수직이등분선이다. 그러므로 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다. |
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Saturday, July 18, 2015