❦ 경우의 수

❧ 주사위를 던질 때 '홀수의 눈이 나온다', 동전을 던질 때 '앞면이 나온다'와 같이 동일한 조건 아래에서 여러 번 반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의하여 나타나는 결과를 사건이라고 한다.

 

❧ 경우의 수 : 사건이 일어날 수 있는 가짓수

 

❧ 사건 \(A\) 또는 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수

▶ 일반적으로 사건 \(A\)와 사건 \(B\)가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 \(A\)가 일어나는 경우의 수가 \(m\)이고, 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수가 \(n\)이면 사건 \(A\) 또는 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수는 \[m+n\]이다.

  예) \(1\)부터 \(20\)까지의 자연수가 각각 적힌 \(20\)장의 카드에서 한 장을 뽑을 때, \(5\)의 배수 또는 \(7\)의 배수가 나오는 사건의 경우의 수를 구하여라.

☞ \(5\)의 배수는 \(5,~10,~15,~20\)이므로 경우의 수는 \(4\)

    \(7\)의 배수는 \(7,~14\)이므로 경우의 수는 \(2\)

    따라서 \(5\)의 배수 또는 \(7\)의 배수가 나오는 사건의 경우의 수는 \(6\)이다.

 

❧ 사건 \(A\) 와 사건 \(B\)가 동시에 일어나는 경우의 수

▶ 일반적으로 사건 \(A\)가 일어나는 경우의 수가 \(m\)이고, 그 각각에 대하여 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수가 \(n\)이면 사건 \(A\)와 사건 \(B\)가 동시에 일어나는 경우의 수는 \[m\times n\]이다.

  예) 동전 \(1\)개와 주사위 \(1\)개를 동시에 던질 때, 일어나는 모든 경우의 수를 구하여라.

☞ 동전 \(1\)개를 던질 때 일어나는 경우는 \(2\)가지이고, 그 각 경우에 대하여 주사위 \(1\)개를 던질 때, 일어나는 경우는 \(6\)가지이다.

따라서 일어나는 모든 경우의 수는 \(2\times6=12\)이다.

 

❦ 여러 가지 경우의 수

❧ 한 줄로 세우기

▶ \(n\)명을 한 줄로 세우는 경우의 수 : \(n\times (n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1\)

예) \(4\)명의 학생을 일렬로 나열하는 방법의 수는 \(4\times3\times2\times1=24\)이다.

 

▶ 이웃하는 것과 같은 특정한 조건이 주어질 때, 한 줄로 세우는 경우

   (이웃하는 사람을 하나의 묶음으로 생각하여 한 줄로 세우는 경우의 수)\(\times\)(묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수)

예) \(A,~B,~C,~D,~E\)의 \(5\)명 중 \(A,~E\)는 항상 이웃하도록 나열하는 방법의 수는 \((4\times3\times2\times1)\times(2\times1)=48\)이다.

 

❧ 정수 만들기

▶ 서로 다른 한 자리 숫자가 각각 적힌 \(n\)장의 카드에서 두 장을 뽑아 두 자리 정수를 만드는 방법의 수 : \(n\times(n-1)\)

예) \(1,~2,~3,~4,~5\)의 숫자가 각각 적힌 \(5\)장의 카드에서 차례로 두 장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 정수는 \(5\times4=20\)가지이다.

 

▶ \(0\)을 포함하여 서로 다른 한 자리 숫자가 각각 적힌 \(n\)장의 카드에서 두 장을 뽑아 두 자리 정수를 만드는 방법의 수
    \((n-1)\times(n-1)\)

예) \(0,~1,~2,~3,~4\)의 숫자가 각각 적힌 \(5\)장의 카드에서 차례로 두 장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 정수는 \(4\times4=16\)가지이다.

 

❧ 대표 뽑기

▶ \(n\)명 중 자격이 다른 \(2\)명의 대표를 뽑는 경우의 수
    \(n\times(n-1)\)

▶ \(n\)명 중 자격이 같은 \(2\)명의 대표를 뽑는 경우의 수
    \(\dfrac { n\times(n-1)} 2\)

예) \(5\)명의 학생 중에서

   (1) 회장, 부회장을 각각 한 명씩 뽑는 경우의 수 : \(5\times4=20\)

   (2) 청소 당번 두 명을 뽑는 경우의 수 :\(\dfrac { 5\times4} 2=10\)