❦ 미지수가 \(2\)개인 일차방정식과 그 해

❧ 미지수가 \(2\)개이고 차수가 \(1\)인 방정식을 미지수가 \(2\)개인 일차방정식이라고 한다.

일반적으로 미지수가 \(x,~y\)의 \(2\)개인 일차방정식은 \[ax+by+c=0~(a,~b,~c는~상수,~a\neq0,~b\neq0)\]과 같이 나타낼 수 있다.

 

❧ 미지수가 \(2\)개인 일차방정식을 만족하는 \(x,~y\)의 값 또는 그 순서쌍 \((x,~y)\)를 이 방정식의 해라 하고, 방정식의 해를 모두 구하는 것을 방정식을 푼다고 한다.

▶ 일차방정식 \(2x+y=5\)를 만족하는 자연수 \(x,~y\)의 값을 순서쌍 \((x,~y)\)로 나타내면 \((1,~3),~(2,~1)\)이다.

 

❦ 연립일차방정식과 그 해

❧ 미지수가 \(2\)개인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 놓은 것을 미지수가 \(2\)개인 연립일차방정식 또는 간단히 연립방정식이라고 한다.

▶ 한 개에 \(500\)원하는 지우개와 \(1000\)원하는 볼펜을 합하여 \(10\)개를 \(4500\)원에 샀다.

☞ 지우개의 개수를 \(x\)개, 볼펜의 개수를 \(y\)개라 하면

    \(\begin {cases}x+y=10\\500x+1000y=4500\end {cases}\)

 

❧ 두 방정식을 동시에 만족하는 \(x,~y\)의 값 또는 그 순서쌍 \((x,~y)\)를 이 연립방정식의 해라 하고, 연립방정식의 해를 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 한다.

▶ \(\begin {cases}x+y=4\\2x-y=-1 \end {cases}~ \implies ~x=1,~y=3\)

 

❦ 연립방정식의 풀이

❧ 대입을 이용한 풀이

한 방정식을 어느 한 미지수에 대하여 풀고, 그 식을 다른 한 방정식에 대입하여 해를 구할 수 있다.

▶ \(\begin {cases}x-y=-1 \\x+y=5 \end {cases}~\implies ~\begin {cases}y=x+1 \\x+y=5 \end {cases}\)

\(\qquad\qquad\qquad\quad~\implies ~x+(x+1)=5\)

\(\qquad\qquad\qquad\quad~\implies~x=2,~y=3\)

 

❧ 합 또는 차를 이용한 풀이

등식의 성질을 이용하여 두 식을 더하거나 빼어서 미지수를 없앤 후 해를 구할 수 있다.

\[\begin {cases}A=B \\C=D \end {cases}~\implies ~\displaylines {A+C=B+D\\A-C=B-D} \]

 

▶ \(\begin {cases}x+y=2~~ &\cdots ① \\x-y=4 &\cdots ②\end {cases}\)

①과 ②를 변끼리 더하면

      \(2x=6,~x=3\)

\(x=3\)을 ①에 대입하면

      \(3+y=2,~y=-1\)

따라서 구하는 해는 \(x=3,~y=-1\)

 

▶ \(\begin {cases}x+2y=4~~ &\cdots ① \\x-y=1 &\cdots ②\end {cases}\)

②의 양변에 \(2\)를 곱하면

      \(\begin {cases}x+2y=4~~ &\cdots ① \\2x-2y=2 &\cdots ③\end {cases}\)

①과 ③을 변끼리 더하면

      \(3x=6,~x=2\)

\(x=2\)를 ②에 대입하면

      \(2-y=1,~y=1\)

따라서 구하는 해는 \(x=2,~y=1\)

 

 

❦ 연립방정식의 활용

❧ 연립방정식의 활용 문제 푸는 순서

(1) 문제의 뜻을 파악하고, 무엇을 미지수 \(x,~y\)로 놓을지 결정한다.

(2) 등식 관계가 있는 수량을 찾아 연립방정식으로 나타낸다.

(3) 연립방정식을 푼다.

(4) 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

 

❧ 다양한 활용 문제의 예

\(300\)원짜리 연필과 \(500\)원짜리 볼펜을 합하여 \(10\)자루를 사고 \(3600\)원을 내었을 때, 연필과 볼펜의 개수를 구하여라.
·미지수 \(x,~y\) 정하기	연필의 개수를 \(x\)자루 볼펜의 개수를 \(y\)자루라 하자.
·식 세우기	연필과 볼펜의 합이 \(10\)자루이므로 \(x+y=10\) 가격의 합이 \(3600\)원이므로 \(300x+500y=3600\)
·방정식 풀기	\(\begin {cases}x+y=10 \\300x+500y=3600 \end {cases}\)을 풀면 \(x=7,~y=3\)
·확인하기	연필 \(7\)자루는 \(2100\)원, 볼펜 \(3\)자루는 \(1500\)원이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다.

 

▶ 활용문제를 풀기 위한 지식

☞ 십의 자리의 숫자가 \(x\), 일의 자리의 숫자가 \(y\)인 두 자리의 자연수는 \(10x+y\)이다.

☞ \((속력)=\dfrac { (거리)} { (시간)}, (시간)=\dfrac { (거리)} { (속력)},\\ (거리)=(속력)\times(시간)\)