❦ 지수법칙

❧ 지수법칙(1)

▶ \(m, n\)이 자연수일 때

  \(a^m \times a^n =(\underset { \text { $m$개}} { \underbrace { a \times a\times\cdots\times a}})\times(\underset { \text { $n$개}} { \underbrace { a\times a\times \cdots\times a}})=a^ { m+n}\)

 

  예) \(2^3 \times 2^5 =2^ { 3+5}=2^8\)

 

❧ 지수법칙(2)

▶ \(m, n\)이 자연수일 때

   \(\left( a^m \right) ^n =\underset { \text { $n$개}} { \underbrace { a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}}=a^ { \overset { \text { $n$개}} { \overbrace { m+m+\cdots +m}}}=a^ { m\times n}\)

 

  예) \(( 2^3 )^4 =2^ { 3\times4}=2^ { 12}\)

 

❧ 지수법칙(3)

▶ \(a\neq 0\)이고, \(m, n\)이 자연수일때

  \(a^m \div a^n =\dfrac { a^m} { a^n}=\dfrac { \overset { \text { $m$개}} { \overbrace { a\times a\times\cdots \times a}}} { \underset { \text { $n$개}} { \underbrace { a\times a\times\cdots \times a}}}\)

  \(a^m \div a^n =\begin {cases} a^ { m-n}\qquad&(\text { $m>n$이면})\\1&(\text { $m=n$이면}) \\\dfrac1 { a^{n-m}}&(\text { $m\lt n$이면}) \end {cases}\)

 

  예) \( 2^5 \div2^3 =\displaystyle { \frac { 2^5} { 2^3}}=2^2\)

 

       \(2^4 \div2^4 =\displaystyle { \frac { 2^4} { 2^4}}=1\)

 

       \(2^3 \div2^5 =\displaystyle { \frac { 2^3} { 2^5}=\frac { 1} { 2^2}}\)

 

❧ 지수법칙(4)

▶ \(b\neq 0\)이고, \(m\)이 자연수일때

  \(\begin {aligned}(ab)^m &=\underset { \text { $m$개}} { \underbrace { ab\times ab\times\cdots\times ab}}\\&=(\underset { \text { $m$개}} { \underbrace { a\times a\times\cdots\times a}})\times (\underset { \text { $m$개}} { \underbrace { b\times b\times\cdots\times b}})=a^m \times b^m\end {aligned}\)

  \(\displaystyle { \left(\frac { b} { a}\right)^m =\underset { \text { $m$개}} { \underbrace { \frac { b} { a}\times\frac { b} { a}\times\cdots\times\frac { b} { a}}}=\frac { b^m} { a^m}}\)

 

  예) \((ab)^2=a^2 b^2 ,\quad (ab^2)^3=a^3b^6 ,\quad  \displaystyle { \left( \frac { b} { a^2} \right)^3 =\frac { b^3} { a^6}}\)

 

 

❦ 단항식의 곱셈과 나눗셈

❧ 단항식의 곱셈

▶ 단항식의 곱셈에서는 지수법칙을 이용하여 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱한다.

  예) \(3a\times 4a^3 =(3\times4)\times(a\times a^3)=12a^4\)

 

❧ 단항식의 나눗셈

▶ 다항식의 나눗셈은 다음 두 가지 방법 중에서 편리한 방법을 택하여 계산한다.

【방법1】분수꼴로 \(\displaystyle { 12a^3 \div 3a^2=\frac { 12a^3} { 3a^2}=4a}\)

【방법2】역수이용 \(\begin {aligned}12a^3 \div 3a^2&=12a^3\times\displaystyle { \frac { 1} { 3a^2}}\\&=4a\end {aligned}\)

 

❧ 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산

▶ 단항식의 곱셈과 나눗셈은 다음 순서로 계산한다.

  (1) 괄호가 있으면 지수법칙을 이용하여 괄호를 푼다.

  (2) 나눗셈은 곱셈으로 고친다.

  (3) 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.

 

  예) \(6xy\times(2xy)^2\div8xy^2=\displaystyle {\frac { 6xy\times 4x^2y^2} { 8xy^2}=3x^2y}\)

 

       \(\begin {aligned}6xy\times(2xy)^2\div8xy^2&=6xy\times 4x^2y^2\times\dfrac { 1} { 8xy^2}\\&=3x^2y\end {aligned}\)