❦ 다각형의 대각선의 개수

❧ $n$각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 모두 $(n-3)$개이다. 이 성질을 이용하여 다각형의 대각선의 개수를 표로 정리하면 다음과 같다.

다각형	다각형의 모양	꼭짓점의 개수	한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수	대각선의 개수
사각형		$4$	$1$	$2$
오각형		$5$	$2$	$5$
육각형		$6$	$3$	$9$
칠각형		$7$	$4$	$14$
$n$각형	$\cdots$	$n$	$n-3$	$\dfrac {n(n-3) } 2$

 

❦ 삼각형의 내각과 외각

❧ 내각과 외각

▶ 내각 : 다각형에서 이웃하는 두 변으로 이루어진 내부의 각

▶ 외각 : 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선으로 이루어진 각

 

❧ 삼각형의 내각과 외각

▶ 세 삼각형의 내각의 크기의 합은 $180^\circ$이다.

▶ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.

☞ $\rm {\overline {AB }} \mathrel {/\!/ } \rm {\overline {CE } }$이면

$\angle\rm A=\angle ACE$, $\angle\rm B=\angle ECD$이므로

$\triangle \rm ABC$의 내각의 크기의 합은

$\begin {align*} \rm \angle A+\angle B+\angle C&=\rm \angle ACE+\angle ECD+\angle ACB\\&=\rm \angle BCD=180^\circ \end {align*}$

☞ $\rm \angle C$의 외각 $\rm \angle ACD$에서

$\rm \angle ACD=\angle ACE+\angle ECD=\angle A+\angle B$

 

❦ 다각형의 내각의 크기의 합

❧ 다각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그엇을 때 만들어지는 삼각형의 내각의 총합은 다각형의 내각의 합과 같다.

다각형	다각형의 모양	꼭짓점의 개수	삼각형의 개수	내각의 크기의 합
사각형		$4$	$2$	$180^\circ \times2=360^\circ$
오각형		$5$	$3$	$180^\circ \times3=540^\circ$
육각형		$6$	$4$	$180^\circ \times4=720^\circ$
칠각형		$7$	$5$	$180^\circ \times2=900^\circ$
$n$각형	$\cdots$	$n$	$n-2$	$180^\circ \times(n-2)$

 

▶ $(정n각형의~한~내각의~크기)=\dfrac { 180^\circ \times(n-2) } {n }$

 

❦ 다각형의 외각의 크기의 합

❧ $n$각형의 외각의 크기의 합은 항상 $360^\circ$이다.

$\begin {align*}☞~(외각의~크기의~합)&=180^\circ \times n-(내각의~크기의~합)\\&=180^\circ \times n -180^\circ \times(n-2)\\&=180^\circ \times n -180^\circ \times n +180^\circ \times 2\\&=360^\circ\end {align*}$

▶ $(정n각형의~한~외각의~크기)=\dfrac { 360^\circ} {n }$

 

♠ How to... 슬라이드 $n$을 이용하여 정다각형에 변화를 주도록 한다. 체크박스를 눌러보면서 내각과 외각을 관찰한다. 슬라이드 $r$를 이용하여 각의 크기는 변의 길이와 상관이 없음을 확인한다.