작도와 합동
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❦ 간단한 도형의 작도

작도 : 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것

눈금 없는 자 : 두 점을 연결하는 선분을 그리거나 선분을 연장하는데 사용

컴퍼스 : 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를 옮기는데 사용

 

길이가 같은 선분의 작도

선분 AB에서

(1) 눈금 없는 자를 사용하여 점 P를 지나는 직선을 그린다.

(2) 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 잰다.

(3) 점 P를 중심으로 하고 선분 AB를 반지름으로 하는 원을 그려 직선과 만나는 점을 Q라고 하면 선분 AB와 선분 PQ의 길이는 같다.

     

크기가 같은 각의 작도

AOB에서

(1) 주어진 반직선 PQ에서 점 P를 중심으로 적당한 원을 그려 반직선 PQ와 만나는 점을 Y라 한다.

(2) 점 O를 중심으로 선분 PY를 반지름으로 하는 원을 그려 반직선 OA, OB와 만나는 점을 각각 C, D라 한다.

(3) 점 Y를 중심으로 선분 CD를 반지름으로 하는 원을 그려 최초 그린 원과 만나는 점을 X라 한다.

(4) 반직선 PX를 그리면 XPYAOB와 크기가 같다.

 

작도에서 길이를 재는 도구는 컴퍼스임에 주의한다.

 

❦ 삼각형의 작도

삼각형 ABC (ABC)

세 꼭짓점이 A, B, C인 삼각형을 삼각형 ABC라 하고, 이것을 기호로 ABC와 같이 나타낸다.
 이때 변 BC와 마주 보는 A를 변 BC대각이라 하고, A와 마주 보는 변 BCA대변이라고 한다.

 

삼각형의 작도

세 변의 길이(a, b, c)가 주어졌을 때

    (1) 직선 l을 긋고, 그 위에 선분 a와 길이가 같은 선분 BC를 그린다.

    (2) 점 B를 중심으로 하고 선분 a를 반지름으로 하는 원을 그린다.

    (3) 점 C를 중심으로 하고 선분 b를 반지름으로 하는 원을 그려, (2)의 원과 만나는 점을 A라고 한다.

    (4) 점 AB, 점 AC를 각각 이어서 만든 ABC가 작도하고자 하는 삼각형이다.

     

두 변의 길이(b, c)와 그 끼인 각(A)이 주어졌을 때

    (1) A와 크기가 같은 XAY를 작도한다.

    (2) 점 A를 중심으로 하고, 선분 c를 반지름으로 하는 원을 그려 반직선 AY와 만나는 점을 B라고 한다.

    (3) 점 A를 중심으로 하고, 선분 b를 반지름으로 하는 원을 그려 반직선 AX와 만나는 점을 C라고 한다.

    (4) 두 점 B, C를 이어서 만든 ABC가 작도하고자 하는 삼각형이다.

     

한 변의 길이(a)와 양 끝각(B, C)이 주어졌을 때

    (1) 직선 l을 긋고, 그 위에 선분 a와 길이가 같은 선분 BC를 그린다.

    (2) B와 크기가 같은 XBC를 작도한다.

    (3) C와 크기가 같은 YCB를 작도한다.

    (4) 두 반직선 BXCY가 만나는 점을 A라고 하면 ABC가 작도하고자 하는 삼각형이다.

♠ How to...

  • 6-3 버튼 > '컴퍼스'를 이용하여 선분을 이동시킬 수 있다.
  • 2-4 버튼 > 선과 선의 교점을 찍는데 사용
  • 3-2 버튼 > 두 점을 잇는 선분을 긋는데 사용
  • 3-4 버튼 > 두 점을 지나는 반직선을 긋는데 사용

 

삼각형에서 세 변과 세 각을 삼각형의 6요소라고 한다.

ABC에서 A, B, C의 대변 BC, CA, AB를 각각 a, b, c로 나타내기도 한다.

두 변과 끼이지 않은 한 내각이 주어질 때 삼각형을 유일하게 작도할 수 없는 경우가 존재한다.

 

❦ 삼각형의 합동조건

대응 : 서로 합동인 두 도형을 완전히 포개었을 때, 포개어지는 꼭짓점과 꼭짓점, 변과 변, 각과 각은 각각 대응한다고 한다.

 

합동 : 모양과 크기가 같아서 포개었을 때 완전히 겹쳐지는 두 도형

합동인 도형의 성질

  - 대응하는 변의 길이는 각각 같다.

  - 대응하는 각의 크기는 각각 같다.


ABCDEF의 합동

ABCDEF

     

삼각형의 합동조건

두 삼각형은 다음의 각 경우에 서로 합동이다.

대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때(SSS 합동)

대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같을 때(SAS 합동)

대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양끝각의 크기가 각각 같을 때(ASA 합동)

¯AB=¯DE¯AC=¯DF¯BC=¯EF

이면 ABCDEF

¯AB=¯DE¯BC=¯EFABC=DEF

이면 ABCDEF

¯BC=¯EFABC=DEFACB=DFE

이면 ABCDEF

ABCDEF : 합동이다.

   ABC=DEF : 넓이가 같다.

합동을 나타낼 때는 대응하는 꼭짓점의 순서를 지키도록 한다.

 

☞ 한 걸음 더

삼대 작도 불능 문제

  • 주어진 정육면체의 부피의 두배의 부피를 갖는 정육면체의 모서리를 작도하는 문제
  • 임의의 각을 삼등분하는 문제
  • 주어진 원과 동일한 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 문제

 

 

 

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Saturday, July 18, 2015