❦ 유리수의 덧셈

❧ 부호가 같은 두 수의 덧셈
   → 두 수의  절댓값의 합에 공통인 부호를 붙인다.

▶ (양수)\(+\)(양수)

  예) \((+2)+(+3)=+(2+3)=+5\)

▶ (음수)\(+\)(음수)

  예) \((-2)+(-3)=-(2+3)=-5\)

❧ 부호가 다른 두 수의 덧셈
   → 두 수의 절댓값의 차에 절댓값이 큰 수의 부호를 붙인다.

▶ (양수)\(+\)(음수)

  예) \((+4)+(-1)=+(4-1)=+3\)

▶ (음수)\(+\)(양수)

  예) \((-5)+(+3)=-(5-3)=-2\)

† 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수의 합은 \(0\)이다.

❦ 유리수의 덧셈의 계산 법칙

❧ 덧셈의 교환법칙 : 두 수 \(a,~b\)에 대하여 

\[a+b=b+a\] 

❧ 덧셈의 결합법칙 : 세 수 \(a,~b,~c\)에 대하여 

\[(a+b)+c=a+(b+c)\] 

† 세 수의 덧셈에서는 \((a+b)+c=a+(b+c)\)이므로 괄호를 사용하지 않고 \(a+b+c\)와 같이 나타낸다.

† 덧셈에서는 결합법칙이 성립하므로 더하는 순서를 바꾸어 계산하면 편리하다.

\(\eqalign {\left(-\frac12\right)+\left(+\frac34\right)+\left(-\frac12\right)&=\left(-\frac12\right)+\left(-\frac12\right)+\left(+\frac34\right)\\&=\biggl\lbrace \left(-\frac12\right)+\left(-\frac12\right)\biggr\rbrace+\left(+\frac34\right)\\&=(-1)+\left(+\frac34\right)=-\frac14} \) 

❦ 유리수의 뺄셈

❧ 빼는 수의 부호를 바꾸어 더한다.

예) \((+3)-(+4)=(+3)+(-4)=-1\)

예) \((-3)-(-4)=(-3)+(+4)=+1\)

† 뺄셈에서는 덧셈과 같은 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.

   \((-2)-(-3)\neq(-3)-(-2)\)

   \(\{ (+1)-(+2) \} -(+3)\neq(+1)- \{ (+2)-(+3) \} \)

❧ 덧셈과 뺄셈의 혼합 계산

(1) 부호가 없는 수는 \(+\)부호를 써 준다.

(2) 뺄셈을 덧셈으로 고친다.

(3) 덧셈에 대한 교환법칙이나 결합법칙을 이용하여 계산한다.

   \(\eqalign{ 5-2-(-3)&=(+5)-(+2)-(-3)\\&=(+5)+(-2)+(+3)\\&=\{ (+5)+(-2) \} +(+3)\\&=(+3)+(+3)\\&=+6 }\)

❦ 유리수의 곱셈

❧ 부호가 서로 같은 두 수의 곱셈
    → 두 수의 절댓값의 곱에 양의 부호 \(+\)를 붙인다.

▶ (양수)\(\times\)(양수)
  예) \((+2)\times(+3)=+(2\times3)=+6\)

▶ (음수)\(\times\)(음수)
  예) \((-2)\times(-3)=+(2\times3)=+6\)

❧ 부호가 서로 다른 두 수의 곱셈
    → 두 수의 절댓값의 곱에 음의 부호 \(-\)를 붙인다.

▶ (양수)\(\times\)(음수)
  예) \((+2)\times(-3)=-(2\times3)=-6\)

▶ (음수)\(\times\)(양수)
  예) \((-2)\times(+3)=-(2\times3)=-6\)

❧ (속력)\(\times\)(시간)\(=\)(거리)를 이용하여 다음을 설명할 수 있다.

시속 \(4㎞\)로 동쪽으로 걸어갈 때를 \(+4\)로 나타내면 현재부터

▶ \(2\)시간 후의 위치

 \(\qquad(+4)\times(+2)=+8\)

▶ \(2\)시간 전의 위치

 \(\qquad(+4)\times(-2)=-8\)

시속 \(4㎞\)로 서쪽으로 걸어갈 때를 \(-4\)로 나타내면 현재부터

▶ \(2\)시간 후의 위치

 \(\qquad(-4)\times(+2)=-8\)

▶ \(2\)시간 전의 위치

 \(\qquad(-4)\times(-2)=+8\)

† 어떤 수와 \(0\)의 곱은 항상 \(0\)이다.

† \(-2^2\ne(-2)^2 \qquad\implies\qquad\cases { -2^2=-(2\times2)\\\\(-2)^2=(-2)\times(-2) } \)

❦ 유리수의 곱셈의 계산 법칙

❧ 곱셈의 교환법칙 : 두 수 \(a,~b\)에 대하여 

\[a\times b=b\times a\] 

❧ 곱셈의 결합법칙 : 세 수 \(a,~b,~c\)에 대하여 

\[(a\times b)\times c=a\times(b\times c)\] 

❧ 분배법칙 : 세 수 \(a,~b,~c\)에 대하여 

\[a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\(a+b)\times c=a\times c+b\times c\] 

† 세 수의 곱셈에서는 \((a\times b)\times c=a\times (b\times c)\)이므로 괄호를 사용하지 않고 \(a\times b\times c\)와 같이 나타낸다.

† 세 개 이상의 수를 곱할 때에는 먼저 곱의 부호를 정하고, 각 수들의 절댓값의 곱에 그 부호를 붙여서 계산하면 편리한 경우가 있다.
  이때 곱의 부호는 음수의 개수가 짝수 개이면 '\(+\)', 홀수 개이면 '\(-\)'이다.

❦ 유리수의 나눗셈

❧ 부호가 서로 같은 두 수의 나눗셈
    → 두 수의 절댓값의 나눗셈에 양의 부호 \(+\)를 붙인다.

▶ (양수)\(\div\)(양수)
  예) \((+12)\div(+4)=+3\quad\Leftarrow\quad(+4)\times(+3)=+12\)

▶ (음수)\(\div\)(음수)
  예) \((-12)\div(-4)=+3\quad\Leftarrow\quad(-4)\times(+3)=-12\)

❧ 부호가 서로 다른 두 수의 나눗셈
    → 두 수의 절댓값의 나눗셈에 음의 부호 \(-\)를 붙인다.

▶ (양수)\(\div\)(음수)
  예) \((+12)\div(-4)=-3\quad\Leftarrow\quad(-4)\times(-3)=+12\)

▶ (음수)\(\div\)(양수)
  예) \((-12)\div(+4)=-3\quad\Leftarrow\quad(+4)\times(-3)=-12\)

❧ 역수 : \(4\times\dfrac14=1,~\left(-\dfrac53\right)\times\left(-\dfrac35\right)=1 \)과 같이 어떤 두 수의 곱이 \(1\)이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 한다.

\[a의~역수\quad\Rightarrow\quad\frac1a\]

❧ 역수를 이용한 나눗셈
    → 나누는 수를 그 역수로 바꾸어 곱셈으로 고쳐서 계산한다.

\[\frac b a\div\frac d c=\frac b a\times\frac c d\]

예) \(\left(-\dfrac56\right)\div\left(+\dfrac23\right)=\left(-\dfrac56\right)\times\left(+\dfrac32\right)=-\dfrac54\)

† \(0\) 을 \(0\)이 아닌 수로 나눈 몫은 항상 \(0\)이다.

† \(0\)은 어떤 수를 곱하여도 \(1\)이 될 수 없으므로 \(0\)의 역수는 생각하지 않는다. 

❦ 유리수의 혼합 계산

❧ 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 식의 경우에는 다음과 같은 순서로 계산할 수 있다.

(1) 거듭제곱이 있으면 거듭제곱을 먼저 계산한다.

(2) 괄호가 있으면 괄호 안을 먼저 계산한다.

(3) 곱셈, 나눗셈을 계산한다.

(4) 덧셈, 뺄셈을 계산한다.

\(\eqalign { \phantom{=}&\bigg[-\dfrac16+\bigg \{ -\dfrac12+\bbox[yellow]{ \bigg(-\dfrac23 \bigg)^2}\div\dfrac43\bigg\}\bigg]\times\bigg(2-\dfrac53\bigg)\\=&\bigg\{ -\dfrac16+\bigg(-\dfrac12+\bbox[pink]{\dfrac49\times\dfrac34}\bigg)\bigg\} \times\bigg(\dfrac63-\dfrac53\bigg)\\=&\bigg\{ -\dfrac16+\bbox[#66ff99]{ \bigg(-\dfrac12+\dfrac13\bigg) }\bigg \} \times\dfrac13 \\=&\bbox[#ccffff]{\bigg\{ -\dfrac16+\bigg(-\dfrac16\bigg)\bigg \} } \times\dfrac13 \\=&\bigg(-\dfrac13\bigg)\times\dfrac13 \\=&-\dfrac19 } \)